Chebyshev’s Inequality
Probability того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа $\epsilon$, не меньше, чем $1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}$:
$P(| X - M(X)| < \epsilon) \geqslant 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}$ |
Доказательство
-
Рассмотрим событие, обратное $ X - M(X) < \epsilon$ - это будет событие, что отклонение принимает значение, большее $\epsilon$: $ X - M(X) \geqslant \epsilon$ : Эти два события противоположные: $P( X - M(X) < \epsilon) + P( X - M(X) \geqslant \epsilon) = 1$ : вычислим $P( X - M(X) \geqslant \epsilon)$ -
- $D(X) = \sum_{i = 1}^n (x_i - M(X))^2 p_i$ (*)
- все слагаемые этой суммы больше нуля
-
Отбросим все $(x_i - M(X))^2 p_i$, у которых $ x_i - M(X) < \epsilon$ : После этого сумма (*) только уменьшится -
- Условно будем считать, что отброшено первые $k$ слагаемых
- $D(X) \geqslant \sum_{j = k + 1}^n (x_j - M(X))^2 p_j$
-
- $| x_j - M(X)| \geqslant \epsilon, j = k + 1, …, n$ (по предположению) |: обе части неравенства положительны, поэтому $| x_j - M(X)|^2 \geqslant \epsilon^2$ |- Воспользуемся этим и заменим каждый из множителей на $\epsilon^2$, и при этом неравенство только усилится. Получим
- $D(X) \geqslant \epsilon^2 \cdot (p_{k+1} + … + p_n) = \epsilon^2 \sum_{j = k + 1}^n p_j$
-
- По теореме сложения вероятностей, сумма $\sum_{j = k + 1}^n p_j$ - вероятности того, что $X$ примет одно из значений ${x_j}, j = k+1, …, n$
-
При любом $x_j$ удовлетворяется $ x_j - M(X) \geqslant \epsilon$ : т.е. $\sum_{j = k + 1}^n p_j$ выражает вероятность $P( X - M(X) \geqslant \epsilon)$ - Поэтому имеем -
$D(X) \geqslant \epsilon^2 \cdot P( X - M(X) \geqslant \epsilon)$ : или $P( X - M(X) < \epsilon) \geqslant 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}$
Sources
- Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика – 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.