Hypergeometric Distribution

Пусть в партии из [math]N[/math] изделий [math]M[/math] стандартных ([math]M \lt N[/math]). Из партии отбирают n изделий, причём изделия обратно не возвращаются.

$X$ - случайная величина, число m стандартных изделий среди n отобранных. Возможные значения [math]X: 0, 1, ..., \min(M, n)[/math]


Probability того, что [math]X = m[/math]:

  • Общее число исходов [math]C_N^n[/math]
  • Число благоприятствующих исходов [math]X = m[/math]:

[math]C_M^m \cdot C_{N - M}^{m - n}[/math]

(число способов извлечь [math]m[/math] из [math]M[/math] умножить на число способов извлечь оставшиеся нестандартные детели)


Таким образом,

[math]P(X = m) = \frac{C_M^m \cdot C_{N - M}^{m - n}}{C_N^n}[/math]

Эта формула определяет гипергеометрическое распределение.


Пример

Среди 50 изделий 20 окрашеных. Найти вероятность того, что из 5 извлёченных изделий 3 будут окрашенными.

  • [math]N = 50, M = 20, n = 5, m = 3[/math]
  • [math]P(X = 3) = \frac{C_{20}^3 \cdot C_{30}^2}{C_{50}^5} = 0.234[/math]

See also

Sources

  • Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика -- 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.