Независимые события
Событие B называют ‘‘независимым’’ от события $A$, если появление события $A$ не изменяет вероятность события $B$, т.е.
$P(B | A) = P(B)$ и $P(A | B) = P(A)$ | Или, по-другому, два события являются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий:
$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$
Иначе, такие события называются ‘‘зависимыми’’.
Попарная независимость и независимость в совокупности
Несколько событий называют ‘‘попарно-независимыми’’, если каждые два из них независимы.
События называют ‘‘независмыми в совокупности’’, если они попарно независимы, а так же независимы со всеми возможными произведениями.
Для таких событий $P(A_1 \cdot … \cdot A_n) = P(A_1) \cdot … \cdot P(A_n) $
== Появление хотя бы одного события == ‘'’Теорема’’’. Probability появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий $A_1, …, A_n$ есть
$P(A) = 1 - P(\bar{A}_1 \bar{A}_2 … \bar{A}_n)$
или, иначе,
$P(A) = 1 - q_1 q_2 … q_n$
Так как события $A$ и $\bar{A}_1 \bar{A}_2 … \bar{A}_n$ - противоположные.
Пример
Probability того, что первое орудие попадёт в цель 0.7 (событие $A$). Для второго орудия - 0.8 (событие $B$). Найти вероятность попадания в одном залпе хотя бы одного орудия.
- Оба орудия попадут в цель: $P(AB) = 0.7 + 0.8 = 0.56$
-
Одно из орудий попадёт в цель: $P(A + B) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94$ (по теореме сложения вероятностей совместных событий)
- Если же воспользоваться формулой, то $p = 1 - q_1 q_2 = 1 - 0.3 \cdot 0.2 = 0.94$
Пример 2
Probability того, что генератор случайных чисел сгенерирует заданное наперёд слово
- http://forum.vingrad.ru/forum/topic-365451/anchor-entry2556737/0.html
See also
Sources
- Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика – 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.