Law of Total Probability
| Пусть $A$ может наступить при условии появления одного из событий $B_1, B_2, …, B_n$, образующих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий $P(B_1), P(B_2), …, P(B_n)$ а так же условные вероятности $P(A | B_1), P(A | B_2), …, P(A | B_n)$ наступления события $A$ после каждого из $B_1, …, B_n$. |
’'’Теорема.’’’ Probability события $A$, которое может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий $B_1, B_2, …, B_n$, образующих полную группу, есть
| $P(A) = P(B_1) P(A | B_1) + P(B_2) P(A | B_2) + … + P(B_n) P(A | B_n)$ |
Эту формулу называют ‘‘формулой полной вероятности’’ (следует из определения условной вероятности).
Доказательство
Т.к. $B_1, B_2, …, B_n$ несовместные, то появление $A$ означает появление одного из $B_1 A, B_2 A …, B_n A$.
- По теореме сложения получим
- $P(A) = P(B_1 A) + P(B_2 A) + … + P(B_n A)$
- И, применяя теорему умножения к каждому из членов суммы, получим
-
$P(A) = P(B_1) P(A B_1) + P(B_2) P(A B_2) + … + P(B_n) P(A B_n)$.
Пример
В магазин поступают продукты с трех предприятий в соотношении 20%, 30%, 50%. С первого предприятия приходит 10% продуктов высшего сорта, со второго - 5%, с третьего - 20%. Какая вероятность того, что случайно купленный продукт высшего сорта?
- Пусть событие $B_i$ - покупка продукта с предприятия $i$.
- Тогда $P(B_1) = 0.2$, $P(B_2) = 0.3$ и $P(B_3) = 0.5$.
- $A$ - покупка продукта высшего сорта.
-
Тогда $P(A B_1) = 0.1$, $P(A B_2) = 0.05$ и $P(A B_3) = 0.2$. - По формуле полной вероятности получаем : $P(A) = \sum_{i = 1}^{3} P(B_i) P(A B_i) = 0.135$
See also
Источники и ссылки
- Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика – 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.
- Конспект по теории вероятности и математической статистике