Law of Total Probability

Пусть [math]A[/math] может наступить при условии появления одного из событий [math]B_1, B_2, ..., B_n[/math], образующих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий [math]P(B_1), P(B_2), ..., P(B_n)[/math] а так же условные вероятности [math]P(A|B_1), P(A|B_2), ..., P(A|B_n)[/math] наступления события [math]A[/math] после каждого из [math]B_1, ..., B_n[/math].


Теорема. Probability события [math]A[/math], которое может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий [math]B_1, B_2, ..., B_n[/math], образующих полную группу, есть

[math]P(A) = P(B_1) P(A|B_1) + P(B_2) P(A|B_2) + ... + P(B_n) P(A|B_n)[/math]


Эту формулу называют формулой полной вероятности (следует из определения условной вероятности).


Доказательство

Т.к. [math]B_1, B_2, ..., B_n[/math] несовместные, то появление [math]A[/math] означает появление одного из [math]B_1 A, B_2 A ..., B_n A[/math].

По теореме сложения получим

[math]P(A) = P(B_1 A) + P(B_2 A) + ... + P(B_n A)[/math]

И, применяя теорему умножения к каждому из членов суммы, получим

[math]P(A) = P(B_1) P(A|B_1) + P(B_2) P(A|B_2) + ... + P(B_n) P(A|B_n)[/math].


Пример

В магазин поступают продукты с трех предприятий в соотношении 20%, 30%, 50%. С первого предприятия приходит 10% продуктов высшего сорта, со второго - 5%, с третьего - 20%. Какая вероятность того, что случайно купленный продукт высшего сорта?

  • Пусть событие [math]B_i[/math] - покупка продукта с предприятия [math]i[/math].
  • Тогда [math]P(B_1) = 0.2[/math], [math]P(B_2) = 0.3[/math] и [math]P(B_3) = 0.5[/math].
  • [math]A[/math] - покупка продукта высшего сорта.
  • Тогда [math]P(A|B_1) = 0.1[/math], [math]P(A|B_2) = 0.05[/math] и [math]P(A|B_3) = 0.2[/math].
  • По формуле полной вероятности получаем
[math]P(A) = \sum_{i = 1}^{3} P(B_i) P(A|B_i) = 0.135[/math]


See also


Источники и ссылки