ML Wiki
Machine Learning Wiki - A collection of ML concepts, algorithms, and resources.

Poisson Process

probability russian

Poisson Process

Рассмотрим события, наступающие в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примеры

  • вызовы на АТС,
  • прибытие самолётов в аэропорт,
  • прибытие клиентов на предприятие,
  • последовательность отказов элементов.

Свойства простейшего потока

Простейшим потоком называется поток, обладающий следующими свойствами:

Свойство стационарности

Probability появления $k$ событий на любом промежутке зависит только от $k$ и длины $t$ промежутка, и не зависит от начала отчёта. При этом различные промежутки времени предполагаются не пересекающимися.

Свойство отсутствия последствия

Probability появления $k$ событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события до этого. Т.е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления события в ближайшем будущем.

Свойство одинарности

За бесконечно малый промежуток времени может появится не более одного события.

Если поток представляет собой сумму очень большого числа независимых событий, влияние каждого из которых на всю сумму ничтожно мало, то суммарный поток (при условии его одинарности) близок к простейшему.

Интенсивность потока

Интенсивностью потока $\lambda$ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если $\lambda$ известно, то вероятность появления k событий простейшего потока определяется формулой Пуассона

$P_t(k) = (\lambda t)^k \frac{e^{-\lambda t}}{k }$   Эта формула удовлетворяет всем трем свойствам.

Пример

В течение одной минуты на АТС в среднем поступает 2 вызова. Найти вероятность того, что за 5 минут наступит

  1. 2 вызова
  2. менее 2-х вызовов
  3. не менее 2-х вызовов
  • Т.к. поток событий простейший, то $\lambda = 2, t = 5, k = 2$
  • $P_t(k) = (\lambda t)^k \frac{e^{-\lambda t}}{k| }$ |: |- 1. за 5 минут наступит 2 вызова
    $P_5(2) = 10^2 \frac{e^{-10}}{2 } \approx 0.00225$ - 2. наступит менее 2-х вызовов : по теореме сложения,
    $P_5(k < 2) = P_5(0) + P_5(1) = e^{-10} + \frac{10 e^{-10}}{1 } \approx 0.000495$ - 3. не менее 2-х событий : обратное событие - “наступило менее 2-х событий”
    $P_5(k \geqslant 2) = 1 - P_5(k < 2) \approx 0.999505$

See also

Sources

  • Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика – 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.
✏️ Edit on GitHub