Probability

События и испытания

'’Событие’’ называется ‘‘случайным’’, если при осуществлении определённой совокупности условий $S$ оно может либо произойти, либо не произойти.

Событие - результат ‘‘испытания’’.

Пример

• Стрелок стреляет по мишени. Выстрел - испытание. Попадание или непопадание - событие

События являются ‘‘несовместными’’, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании

Пример

• Из ящика вынут шар. “Вынут красный шар” и “Вынут синий шар” - несовместные события;
• Выпадание орла и решки - несовместные события.

Несколько событий образуют ‘‘полную группу’’, если в результате испытания появится хотя бы одно из этих событий. Полная группа событий обозначается буквой $\Omega$.

Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то появиться может только одно из них.

Пример

• Орел и решка - полная группа событий

'’Противоположными’’ называют два единственно возможных события, образующие полную группу событий. Событие, противоположное событию $A$ обозначают $\bar{A}$

Два события называют ‘‘совместными’’, если появление одного не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример

• Брошена игральная кость. Событие $A$ - выпало 4 очка, и событие $B$ - выпало четное количество очков. События $A$ и $B$ совместные.

Классическое определение вероятности

'’Probability’’ - число, характерезующее степень возможности появления события.

Каждый возможный результат испытания - ‘‘элементарный исход’’.

'’Probability события $A$’’ - отношение числа благоприятствующих событию $A$ элементарных исходов к общему их числу, обозначается $P(A)$.

$P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ - число благоприятствующих исходов, $n$ - общее число исходов.

’'’Пример’’’

• Всевозможные элементарные исходы :* $\omega_1$ - белый шар :* $\omega_2$ - белый шар :* $\omega_3$ - чёрный шар

• События

  $A$ - вынут белый шар

  $B$ - вынут чёрный шар

• Вероятности

  $P(A) = \frac{2}{3}$

  $P(B) = \frac{1}{3}$

Свойства вероятности

1. . Probability достоверного события $A$: $P(A) = 1$
2. . Probability невозможного события $A$: $P(A) = 0$
3. . Probability случайного события $A$: $0 < P(A) < 1$

Таким образом, $0 \leqslant p \leqslant 1$

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности подразумевает конечность числа элементарных исходов. На практике же это число может быть бесконечно. Так же часто невозможно представить результат в виде совокупности элементарных событий.

'’Статистическое определение вероятности’’ - в качестве вероятности принимается относительная частота $\frac{m}{n}$.

При этом все свойства вероятности выполняются: $0 \leqslant p = \frac{m}{n} \leqslant 1$

Принцип практической невозможности маловероятных событий

Если случайное событие имеет очень маленькую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытание это событие не произойдет.

'’Уровень значимости’’ - достаточно малая вероятность, при которой событие можно считать невозможным.

Sources

• Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика – 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.