События и испытания

Событие называется случайным, если при осуществлении определённой совокупности условий [math]S[/math] оно может либо произойти, либо не произойти.

Событие - результат испытания.

Пример

  • Стрелок стреляет по мишени. Выстрел - испытание. Попадание или непопадание - событие


События являются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании

Пример

  • Из ящика вынут шар. "Вынут красный шар" и "Вынут синий шар" - несовместные события;
  • Выпадание орла и решки - несовместные события.


Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из этих событий. Полная группа событий обозначается буквой [math]\Omega[/math].

Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то появиться может только одно из них.

Пример

  • Орел и решка - полная группа событий


Противоположными называют два единственно возможных события, образующие полную группу событий. Событие, противоположное событию [math]A[/math] обозначают [math]\bar{A}[/math]


Два события называют совместными, если появление одного не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример

  • Брошена игральная кость. Событие [math]A[/math] - выпало 4 очка, и событие [math]B[/math] - выпало четное количество очков. События [math]A[/math] и [math]B[/math] совместные.

Классическое определение вероятности

Probability - число, характерезующее степень возможности появления события.

Каждый возможный результат испытания - элементарный исход.

Probability события [math]A[/math] - отношение числа благоприятствующих событию [math]A[/math] элементарных исходов к общему их числу, обозначается [math]P(A)[/math].

[math]P(A) = \frac{m}{n}[/math], где [math]m[/math] - число благоприятствующих исходов, [math]n[/math] - общее число исходов.


Пример

  • Всевозможные элементарные исходы
  • [math]\omega_1[/math] - белый шар
  • [math]\omega_2[/math] - белый шар
  • [math]\omega_3[/math] - чёрный шар
  • События
[math]A[/math] - вынут белый шар
[math]B[/math] - вынут чёрный шар
  • Вероятности
[math]P(A) = \frac{2}{3}[/math]
[math]P(B) = \frac{1}{3}[/math]

Свойства вероятности

  1. . Probability достоверного события [math]A[/math]: [math]P(A) = 1[/math]
  2. . Probability невозможного события [math]A[/math]: [math]P(A) = 0[/math]
  3. . Probability случайного события [math]A[/math]: [math]0 \lt P(A) \lt 1[/math]

Таким образом, [math]0 \leqslant p \leqslant 1[/math]


Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности подразумевает конечность числа элементарных исходов. На практике же это число может быть бесконечно. Так же часто невозможно представить результат в виде совокупности элементарных событий.

Статистическое определение вероятности - в качестве вероятности принимается относительная частота [math]\frac{m}{n}[/math].

При этом все свойства вероятности выполняются: [math]0 \leqslant p = \frac{m}{n} \leqslant 1[/math]


Принцип практической невозможности маловероятных событий

Если случайное событие имеет очень маленькую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытание это событие не произойдет.

Уровень значимости - достаточно малая вероятность, при которой событие можно считать невозможным.

Sources

  • Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика -- 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.