Теорема сложения вероятностей

Суммой [math]A + B[/math] двух событий [math]A[/math] и [math]B[/math] является событие, состоящее в появлении события [math]A[/math] или события [math]B[/math]

Теорема. Probability появления одного из двух несовместных событий равна сумме этих событий:

[math]P(A + B) = P(A) + P(B)[/math]

Доказательство: [math]n[/math] - общее число исходов, [math]m_a[/math] - благоприятных [math]A[/math], [math]m_b[/math] - благоприятных [math]b[/math]

[math]P(A + B) = \frac{m_a + m_b}{n} = \frac{m_a}{n} + \frac{m_b}{n} = P(A) + P(B)[/math]


Следствия

[math]P(A_1) + ... + P(A_n) = 1[/math]
  • Сумма вероятности появления события [math]A[/math] или противоположного ему события [math]\bar{A}[/math] равна единице, т.к. [math]A[/math] и [math]\bar{A}[/math] образуют полную группу событий
[math]P(A) + P(\bar{A}) = 1[/math]


Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного не исключает появление другого в одном и том же испытании.


Теорема. Probability появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

[math]P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)[/math]

Доказательство

  • [math]A + B[/math] наступит, если произойдёт [math]A\bar{B}[/math], [math]\bar{A}B[/math] или [math]AB[/math]. Так как эти события несовместы, то по теореме сложения имеем
[math]P(A + B) = P(A\bar{B}) + P(\bar{A}B) + P(AB)[/math] (*)
  • [math]A[/math] наступит, если произойдёт или [math]AB[/math] или [math]A\bar{B}[/math]. По теореме сложения,
[math]P(A) = P(A\bar{B}) + P(AB)[/math] или
[math]P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB)[/math] (**)
  • Аналогично, [math]B[/math] наступит, если произойдёт или [math]AB[/math] или [math]\bar{A}B[/math]. Т.е.
[math]P(B) = P(\bar{A}B) + P(AB)[/math] или
[math]P(\bar{A}B) = P(B) - P(AB)[/math] (***)
  • Подставив (**) и (***) в (*), получим
[math]P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)[/math]

Теорема произведения вероятностей

Произведением событий [math]A[/math] и [math]B[/math] называется событие [math]A \cdot B[/math], состоящее в совместном появлении этих событий.

Пример:

  • [math]A[/math] - деталь годная
  • [math]B[/math] - деталь окрашена
  • [math]A \cdot B[/math] - деталь годна и окрашена

Теорема. Рассмотрим два события [math]A[/math] и [math]B[/math]. Нам известны [math]P(A)[/math] и [math]P(B|A)[/math]. Как найти вероятность появления и [math]A[/math] и [math]B[/math]?

[math]P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B | A)[/math] - по определению условной вероятности.

Для независимых событий теорема умножения принимает вид

[math]P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)[/math]

See also

Sources

  • Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика -- 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.