Bayes Theorem
Пусть $H = {H_1, H_2, …, H_n}$ образуют полную группу событий и $A$ может выполняться только при выполнении одного из ${ H_i }$.
Назовём события $H_1, H_2, …, H_n$ ‘‘гипотезами’’, поскольку заранее не известно, какое из них наступит.
'’Bayes Theorem’’ позволяет переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, после которого появилось $A$.
| $P(H_i | A) = \frac{P(H_i) P(A | H_i)}{P(H_1) P(A | H_1) + P(H_2) P(A | H_2) + … + P(H_n) P(A | H_n)}$ |
$P(H_i)$ называется ‘‘априорной вероятностью’’, $P(H_i| A)$ - ‘‘апостериорной’’. |
Вывод формулы
- Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие $A$.
-
Найдем условные вероятности $P(H_1 A), P(H_2 A), …, P(H_n A)$ : Т.е. вероятности гипотез, при условии, что событие $A$ уже наступило. -
Для $P(H_1 A) $по теореме умножения имеем : $P(A H_1) = P(A) P(H_1 A) = P(H_1) P(A H_1)$ : Т.е. $P(H_1 A) = \frac{P(H_1) P(A H_1)}{P(A)}$ - Если заменить все $P(A)$ на формулу полной вероятности, то получим : $P(H_1 A) = \frac{P(H_1) P(A H_1)}{P(H_1) P(A H_1) + P(H_2) P(A H_2) + … + P(H_n) P(A H_n)}$ - Аналогично и для других гипотез. Т.е. : $P(H_i A) = \frac{P(H_i) P(A H_i)}{P(H_1) P(A H_1) + P(H_2) P(A H_2) + … + P(H_n) P(A H_n)}$
Пример 1
Каждый из трех стрелков может сделать два выстрела. Probability попаданий: $P(A_1) = 0.3$, $P(A_2) = 0.5$ и $P(A_3) = 0.8$. Один из стрелков выстрелил два раза и ни разу не попал. Какая вероятность, что стрелком был первый?
- Пусть гипотеза $H_1$ - стрелял первый, $H_2$ - стрелял второй и $H_3$ - стрелял третий.
- $P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$.
- $D$ - стрелок промахивается два раза.
- $P(D| H_1) = 0.7 * 0.7 = 0.49$ |- $P(D| H_2) = 0.25$ |- $P(D| H_3) = 0.04$ | Тогда по формуле Байеса
- $P(H_1| D) = 0.628$ |
Пример 2
В первом ящике лежит 2 золотых монеты, во втором одна золотая, одна серебряная, а в третьем - две серебряных. Случайным образом выбирается монета, которая оказывается золотой. Какая вероятность того, что вторая монета в том же ящике тоже золотая?
Золотой вторая монета может быть только в первом ящике, поэтому нужно найти вероятность того, что монета извлечена из первого ящика.
Пусть $H_1$ - монета извлечена из первого ящика, $H_2$ - из второго и $H_3$ - из третьего. Очевидно, что $P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \fraq{1}{3}$.
| $D$ - вытащенная монета является золотой. Тогда $P(D | H_1) = 1$, $P(D | H_2) = 0.5$ и $P(D | H_3) = 0$. | |
| Вычислим $P(H_1 | D)$ по формуле $P(H_1 | D) = \frac{ P(H_1) P(A | H_1) }{ \sum_{i=1}^{3} P(H_i) P(D | H_i) }$ |
See also
Источники и ссылки
- Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика – 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.
- Конспект по теории вероятности и математической статистике