Bernoulli Theorem

Bernoulli Theorem

’'’Теорема.’’’ Если в каждом из n независимых испытаний вероятность $p$ появления события $A$ постоянна, то как угодно близка к единицы вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности $p$ будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Доказательство

• $X_i$ - число появлений события в испытании $i$. Принимает два значения:
  • 1: событие наступило

  • 0: событие не наступило

    $P(X_i = 1) = p, P(X_i = 0) = q = 1 - p$

• Все величины попарно-независимы (т.к. испытания независимы)

• Их дисперисии ограничены

  $D(X_i) = pq$ (т.к. число испытаний $n = 1$) (‘'’TODO’’’: линк)

  и не превышает 1/4

  (произведение 2-х сомножителей максимально при их равенстве, т.е. $p = q = 0.5$)

  $D \leqslant \frac{1}{4}$, следовательно, дисперсии ограничены числом $C = \frac{1}{4}$

• Все условия для применения теоремы Чебышева соблюдены, поэтому

  $\lim_{n \rightarrow \infty} P\left(\left

  \frac{X_1 + … + X_n}{n} - p \right

  < \epsilon\right) = 1$ (т.к. для всех $M(X_i)$ мат. ожидание есть $M(X_i) = p$)

  - $\frac{1}{n} \sum X_i = \frac{m}{n}$ - относительная частота появления события $A$. т.е

  $\lim_{n \rightarrow \infty} P\left(\left| \frac{m}{n} - p \right| < \epsilon\right) = 1$ | ‘'’Q.E.D.’’’

See also

• Laws of Large Numbers
• Weak Law of Large Numbers

Sources

• Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика – 9-е издание. М.: Высш. шк., 2003.