Если брать размещения, в которые входят все [math]n[/math] предметов, то они могут различаться только порядком.
Перестановками из [math]n[/math] элементов называют размещения без повторений из [math]n[/math] элементов, в которые входят все элементы.
Обозначаются [math]P_n = A_n^n = n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 = n![/math]
Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?
При таком расположении на каждой горизонтали и вертикали стоит по одной ладье
В перестановках мы переставляли предметы, которые попарно различны. Если же некоторые переставляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок - некоторые перестановки совпадают друг с другом.
Пусть имеется [math]n[/math] предметов [math]k[/math] различных типов. Сколько перестановок можно сделать из [math]n_1[/math] элементов первого типа, [math]n_2[/math] элементов второго типа, ..., [math]n_k[/math] элементов [math]k[/math]-того типа?
Число элементов в каждой перестановке равно [math]n = n_1 + n_2 + ... + n_k[/math] Если бы все элементы были разными, то у нас было бы [math]n![/math] перестановок.
Но из-за того, что элементы совпадают, получается меньшее количество перестановок.
Рассмотрим перестановку
[math]\underbrace{aa \ .. \ a}_{n_1} \ \underbrace{bb \ .. \ b}_{n_2} \ ... \ \underbrace{xx \ .. \ x}_{n_k}[/math]
Сколько перестановок можно сделать из букв слова "Миссисипи"?
[math]P(4, 3, 1, 1) = \frac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 1!} = 2520[/math]